# 描述性统计

# 基础概念

『 统计学 』是对研究对象的数据进行收集、整理、分析和研究，以显示其总体的特征和规律性的科学。

# 变量 & 数据

『 试验单位 experimental unit 』作为数据来源的研究对象。

• 🌰 想要研究学校中的男女生比例，"试验单位" 是每个学生。

『 变量 variable 』是试验单位身上的特性 characteristic，每个试验单位的变量值可能是不同的。

• 🌰 研究一家店的经营情况，每年的 "销售额"，"开支"，"净利润" 都可以作为变量。每一年这家店的这些变量的值都是变化的。
• 在做研究时，从试验单位身上具体记录下来的变量值，称为『 测量值 measurement 』，也就是所要分析的『 数据 data 』。
• 获得一个测量值的过程, 称为『 试验 experiment 』

对试验单位进行测量时：

• 只测量一个变量，获得的数据称为『 一元变量数据 Univariate Data 』
• 测量两个变量，获得的数据称为『 二元变量数据 Bivariate Data 』
• 测量多个变量，获得的数据称为『 多元变量数据 Multivariate Data 』

# 总体 & 样本

『 总体 population 』是我们感兴趣的研究对象全体。

• 它是由客观存在的、具有某种共同性质的许多个体所构成的整体。
• 构成总体的个体称为『 总体单位 Unit of Population 』。

因为调查收集一个总体的数据往往很难，所以通常只会随机地选出总体中一部分的个体进行调查。

『 样本 sample 』是总体中的一个子集。

• 构成样本的个体称为『 样本单位 Unit of Sample 』。

一个好的样本必须具备两种特性：

• 随机性 Randomness: 样本中的每一个个体都是随机从总体中抽出的。
• 代表性 Representativeness: 样本中个体的组成准确地反映出总体中个体的组成结构。

# 描述性统计 & 推断统计

『 描述性统计 descriptive statistics 』: consists of procedures used to summarize and describe the important characteristics of a set of measurements.

• 🌰 记录一个工厂过去一年中二氧化碳的每日排放量;

  进行 "描述性统计" 的基本步骤：

---

『 推断统计 inferential statistics 』: consists of procedures used to make inferences about population characteristics from information contained in a sample.

• 🌰 利用一个湖中不同位置采集的水样本, 去推断出整体湖水的性质;

  进行 "推断统计" 的基本步骤：

1. 确定想要回答的问题，以及识别出总体：
   • 总体需要由与问题最相关的 "试验单元" 身上的 "测量值" 组成。也称为『 Population of Interest 』
   • 🌰 假如问题是 "总统大选中谁会在选举日获得最多票"。总体是 "所有选票"，而不是 "所有选民"。
2. 确定选取样本的方法：
   • 这一步也称为『 design of the experiment 』或者『 sampling procedure 』
   • 需要关心的点是，选取出的样本是否具有 "随机性" 和 "代表性"，样本需要有多大才能回答出 Step 1 设定的问题，以及尽可能花最少的时间和金钱。
   • 🌰 例如，魁北克省的选票情况能否代表全加拿大的情况？如何选出可以代表全加拿大选票情况的样本？需要选出多少张？
3. 选出样本，并且对样本进行分析：
   • 选出样本之后，需要用恰当的分析方法去将样本数据中包含的信息找出来。
4. 通过分析结果，对总体进行推断：
   • 可以有很多种方法去进行推断。根据问题的不同，数据类型的不同，样本大小的不同，需要选出来最合适的方法。
5. 确认推断结果的可靠度：
   • 因为搜集来的样本只是总体中的一部分，通过由它计算来的结果去分析总体的特性是会有误差的。
   • 需要确定这种误差大概有多少，是否可以相信推断结果，并拿它去回答 Step 1 设定的问题。

# 数据分类

有两种方式对数据进行分类：

• 『 数据类型 Type of Data 』
• 『 度量水平 Meaurement Level 』

# 数据类型

数据类型分为两种：

『 分类数据 Categorical Data 』用类别 categories or groups 进行表示的数据：

• 🌰 性别，民族，品牌，季节，颜色，Yes / No。
• 🌰 调查学校中学生是否有车，根据回答可以将学生分为 Yes 或者 No 两组。

---

『 数值数据 Numerical Data 』可以用数值进行量化表示的数据。更具体又分为：

• 『 离散数据 Discrete Data 』有限的，可数的数据：
  • 🌰 医院里一天出生的婴儿数量，手机每天的销售量，每个国民的收入。
• 『 连续数据 Continuous Data 』无限的，不可数的，每时每刻都在连续地变化的数据。
  • 🌰 行驶中的汽车到目的地的距离，人的身高，体重 ( 每时每刻都在变化 )
  • 🌰 以秒为单位计算的时间是 "离散数据"，但是现实中的时间没有一个最小刻度单位，是连续的，不可数的，所以是 "连续数据"。

# 度量水平

根据度量水平，数据可以分为：

『 定性数据 Qualitative Data 』用类别进行表示的数据。又可以分为：

• 『 定类数据 Nominal Data 』类别之间没有顺序关系。
  • 🌰 男女，品牌，血型，颜色，地区，民族；
• 『 定序 ( 顺序 ) 数据 Ordinal Data 』类别之间有顺序关系。
  • 🌰 学历：小学，初中，高中，大学，研究生。
  • 🌰 喜欢的程度：厌恶，不喜欢，没感觉，喜欢，非常喜欢。

---

『 定量数据 Quantitative Data 』可以用数值进行量化表示的数据，数值之间是有大小顺序的。又可以分为：

• 『 定距 ( 区间 ) 尺度 Interval Data 』数值之间具有一定的间隔，这个间隔是等距的。不具有绝对的 $0$ 点。数值之间只能进行加减运算，不能进行乘除运算。
  • 🌰 00:00 并不代表最小的时间。不可以说 10:00 是 00:00 的十倍，只能说比 00:00 晚 10 个小时。
  • 🌰 摄氏温度：-100°C，0°C，100°C。0°C 并不是最小的温度。只能说 100°C 比 0°C 高 100 度。
• 『 定比尺度 Ratio Data 』具有绝对的 $0$ 点。数值之间既可以进行加减运算，也可以进行乘除运算。
  • 🌰 小王工资 2000 元，小红工资 1000 元。小王比小红多挣 1000 元，小王是小红工资的 2 倍。
  • 🌰 开尔文温度：0K 称为绝对零度，是最小的温度，等于 -273.15°C。这个温度下物体的分子内能为 0。

# 描述性统计

在收集到了数据集之后, 我们需要一些方法, 去整理和描述这些数据.

# 用 "图表" 描述 Categorical 数据

# 频数 & 相对频率

在描述 Categorical 数据时, 我们认为每一个测量值都能够落入一个或一组类别:

• 对于给定的类别，落入这个类别的测量值个数，称为『 频数 frequency 』
• 对于给定的类别，频数相对于全部测量值的占比，称为『 相对频率 relative frequency 』
• 对于给定的类别，相对频率 x 100% 等于落入这个类别的观测值，占全部观测值中的『 百分比 percentage 』

• The sum of the "Frequencies" is always $n$ ( 所有观测值的数量 )
• The sum of the "Relative Frequencies" is always $1$
• The sum of the "Percentages" is always $100\%$

# 条形图 Bar Chart & 饼图 Pie Chart

在收集来『 原始数据 raw data 』之后，我们可以把数据整理成一个『 统计表 statistical table 』

再进一步，可以用适当的图形去表示数据。常用的有：

• 条形图 Bar Chart: 表示出每一类别的频数, 或相对频率;
• 饼图 Pie Chart: 表示出类别的频数在整体中的占比;

🌰 例子：

研究人员收集了自 1977 年以来, 全世界的 45 起与能源相关的死亡事故的数据. 从中将 "死亡原因" 作为变量将 45 起事故数据分成了 6 类.

上表 👆 汇总出了每类原因的『 频数 』和『 相对频率 』

下面 👇 分别用『 条形图 』和『 饼图 』来描述了这份数据:

# 用 "图表" 描述 Numerical 数据

# 条形图 Bar Chart & 饼图 Pie Chart

很多的数值数据在收集时，本身就具有类别。

• 🌰 调查中国不同城市的平均收入。收入是 Numberical 数据，但是将 "城市" 作为类别。

🌰 例子：

下表 👇 展示了 2015 年加拿大销量前 10 的汽车型号和具体销售量。

可以用『 条形图 Bar Chart 』和『 饼图 Pie Chart 』来表示：

# 点图 Dot Plot

有很多数值数据很难将其归入某种类别。『 点图 Dot Plot 』是最简单的一种表示方式：

• 找到每个测量值在 $x$ 轴上对应的位置，然后在上面画一个 "点"，如果此位置上已经有点存在，则在该点之上进行堆叠。
• 当有多个测量值都具有相同的数值, 它们都落在了$x$ 轴上的同一个位置, 这些点堆叠起来称为一个柱形图案。

🌰 例子：

下图 👇 展现了 100 辆新车里程等级的测量值。

用点图 Dot Plot 进行表示：

# 茎叶图 Stem and Leaf Plot

构造『 茎叶图 Stem and Leaf Plot 』时：

• 先把数据集中的每一个测量值分为 "茎" 和 "叶" 两个部分.
  • 🌰 例如, 1.32 和 2.45 可以分成 1 - 32 和 2 - 45
• 将 "茎" 按照数值大小依次排列成一列，再把每个测量值的 "叶" 放到对应的 "茎" 的后面。同一行上的 "叶" 可以按照大小顺序排列。

🌰 例子：

下图 👇 是对上面 100 辆新车里程等级的测量值的『 茎叶图 』表示:

# 直方图 Histogram

• 计算出 "最小测量值" 与 "最大测量值" 之间的间距，然后将其分为若干个等距的区间 ( 5 - 12 个 ) 。等同于，人为给数据创造出了类别。
• 计算出落入每个区间的测量值的个数，将其作为每个类别的 "频数"，并计算出其 "相对频数"。然后用 "柱形" 进行表示。

🌰 例子：

下表 👇 展示了 30 个大学一年级学生，第一学年的 GPA 分数。

在 "点图" 的基础上，在横轴上分出了 8 个区间：

计算出每个区间的频数，以及相对频率：

用 "直方图 Histogram" 来表示：

# 折线图 & 时间序列图

如果数据是随着一个有序类别而变化的，那么可以用『 折线图 Line Chart 』去表示数据变化的趋势。

最常见的一种折线图就是『 时间序列图 Time-Series Plot 』

当数据是 "随时间变化" 记录的。我们可以用 "时间序列图" 去进行表示：

• $x$ 轴表示时间，$y$ 轴表示数值。
• 每次观测之间需要有相同的时间间隔。
  • daily, weekly, monthly, quarterly, yearly
• 时间序列图可以表示出来数值随时间变化的趋势。

🌰 例子：

下表 👇 以年为周期，展示了加拿大的人口增长数量。

下面的两个时间序列图中，分别用了两种不同的 $y$ 轴刻度 scale。虽然数据相同，但是图表给人的直观感觉不同。在实际画图时，需要根据需求，选择最恰当的刻度。

折线图也可以很直观地表示出 "多组数据"：

# 用 "数值" 描述 Numerical 数据

Graph can help you describe the basic shape of a data distribution. However, there are some limitations of using the graphs.

• 假设你要口头描述一组数据，图片帮不上忙，你需要有一种方式去描述数据，能够让对方在脑海中呈现出画面。
• 用图像去做统计推断是不精确的。

『 数值型描述度量 numerical descriptive measures 』可以解决上述的问题。它由总体或样本的测量值计算而得的数值。描述了总体或样本的特征。

• 『 参数 parameters 』与总体的测量值相关，是描述总体特征的数值。
• 『 统计量 statistics 』由样本测量值计算而得，是描述样本特征的数值。

# 中心趋势度量

『 中心趋势度量 measure of centre 』描述了数据分布的中心位置。

『 算术平均值 arithmetic mean 』把所有数据求和再除以数据的个数来获得。

• 用符号 $\bar{x}$ 表示『 样本均值 』
• 用符号 $μ$ 表示『 总体均值 』

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

『 中位数 median 』数据从小到大排列后的位于中间的数值。

• 用符号 $m$ 表示『 样本中位数 』
• 用符号 $τ$ 表示『 总体中位数 』

中位数不会受极端值的影响。平均数容易受极端值的影响。

• 🌰 例如，一个酒吧里坐着 5 个工人，平均工资是 3000 美元。突然比尔盖茨进来了，一下子就把平均工资提升到了一个无法想象的高度。但是 5 个工人的收入并没有任何增加。"中位数" 就可以避免这个问题，比尔盖茨的加入并不会改变先前的中位数。

『 众数 mode 』在数据集合中出现次数最多的数值。

• 数据中可能存在众数，可能不存在众数，也可能存在多个众数。
• 和中位数一样，极端值不会影响众数。

🌰 例子：

下表 👇 列出了 30 个一年级学生第一学年的 GPA 成绩：

GPA 成绩的相对频率直方图：

• 『 平均数 』为 2.5552
• 『 中位数 』为 2.6
• 『 众数 』为 2.5 和 2.7

# 变异性度量

两组具有相同 "中心位置" 的数据可能在图中看起来差别很大。每组数据中观测值到中心位置的距离都是不固定的。

『 变异性度量 measures of variability 』描述了一组数据距离中心位置的离散程度。

『 极差 range 』数据集合中最大测量值减去最小测量值的差。

$range = x_{max} - x_{min}$

『 方差 variance 』表示数据偏离平均值的程度。等于所有测量值与 "平均值" 的差的平方和，除以数据个数减 1

• 用符号 $s^2$ 表示『 样本方差 』
• 用符号 $σ^2$ 表示『 总体方差 』

$s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n - 1}$

也可以简化为：

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n(\bar{x})^2}{n - 1}$

• 以 $n-1$ 作为分母的原因是，这样计算出来的 $s^2$ 可以更准确地去估计 $\sigma^2$。具体的数学推导这里就不介绍。

『 标准差 standard deviation 』方差的平方根。

$s = \sqrt{s^2}$

🌰 例子：

计算 5，7，1，2，4 这组数据的 "方差" 和 "标准差"：

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n(\bar{x})^2}{n - 1} = \frac{95 - 5 \times 3.8^2}{4} = 5.70$

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{5.70} = 2.39$

• "方差" 或 "标准差" 越大，数据的离散程度越大，图形看起来越 "胖"。反之，数据看起来越 "瘦"。
• 如果 "方差" 或 "标准差" 为 $0$，则意味着所有的测量值都是相同的。

# 经验法则 & 切比雪夫法则

"标准差" 可以应用在两个很有名的描述 "数据分布" 的法则之中：

『 切比雪夫法则 Tchebysheff‘s Theorem 』由俄国科学家 Tchebysheff 证明的结论。

• 可以应用于任何数据集合之中，无论数据的频数分布是什么形状的。也因如此，该法则的估计更保守一些。
• 认为对于任意大于 $1$ 的数 $k$，至少有 $(1 - \frac{1}{k^2})$ 的测量值落在平均值的 $k$ 个标准差范围内，即 $(\bar{y} \pm ks )$：
  • 很少的测量值落入平均值的 $1$ 个标准差范围内。
  • 至少 $3/4$ 测量值落入平均值的 $2$ 个标准差范围内。
  • 至少 $8/9$ 测量值落入平均值的 $3$ 个标准差范围内。

『 经验法则 Empirical Rule 』由科学家通过观察真实数据集得到出的实际经验准则。

• 只可以对呈现丘型对称分布的数据集使用。
• 认为大约 $68\%$ 的观测值位于均值 $1$ 个标准差范围内。
• 认为大约 $95\%$ 的观测值位于均值 $2$ 个标准差范围内。
• 认为几乎所有的观测值都位于均值 $3$ 个标准差范围内。

---

由上面两条法则可以推出，"标准差" 大约等于 "极差" 除以 $4$。但这只是一种非常粗糙的估计值。

$s ≈ \frac{range}{4}$

# 相对位置度量

『 相对位置度量 measures of relative standing 』用以描述一个观测值在数据集中的相对位置。

『 $z$ 得分 』以 "标准差" 为单位, 描述了测量值相对于均值的距离。

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

• 负的得分表示测量值位于均值的左边。正的得分表示测量值位于均值的右边。
• 根据 "切比雪夫法则" 和 "经验法则"，可以推导出：
  • 大约 75% 到 95% 的观测值 $z$ 得分在 $-2$ 和 $+2$ 之间。
  • 大约 89% 到 99.7% 的观测值 $z$ 得分在 $-3$ 和 $+3$ 之间。

🌰 例子：

一个样本中的观测值为：1，1，0，15，2，3，4，0，1，3

可以算出：

• $n$ = 10
• $\bar{x}$ = 3
• $s$ = 4.42

对于观测值 $x$ = 15，它的 $z$ 得分为：$(15-3) / 4.42 = 2.71$

『 百分位数 percentile 』在数据集的分布曲线中，第 $p$ 百分位数 ( $p$th percentile ) 表示 $x$ 轴上的一个值，它大于 $p\%$ 的观测值, 小于 $(100-p)\%$ 的观测值。

• 适用于观测值数量 $n$ 比较大的数据集合。

• 🌰 上图中画出了 "第 60 百分位数" ( the 60th percentile )，它对应的 $x$ 值大于 60% 的观测值，小于 40% 的观测值。在曲线内，也可以认为这个位置左边的面积占 60%，右边的面积占 40%。

有一些特殊的百分位数，有特殊的称呼：

• 第 25 百分位数, 称为『 下四分位数 lower quartiles，$Q_l$ 』也称为『 first quartiles, $Q_1$ 』
• 第 50 百分位数, 称为『 中四分位数 median quartiles 』, 也是数据集的『 中位数 』也称为『 second quartiles 』
• 第 75 百分位数, 称为『 上四分位数 upper quartiles，$Q_u$ 』也称为『 third quartiles, $Q_3$ 』
• 『 四分位距 interquartile range, IQR 』等于 $Q_3 - Q_1$

🌰 例子：

找出下面 👇 观测值集合的四分数：$5，2，6，9，11，2，4，64，14，47，31$

先从小到大进行排序：$2，2，4，5，6，9，11，14，131，47，64$

• n = 11
• Position of $Q_1$ = 0.25(11 + 1) = 3
• Position of $Q_3$ = 0.75(11 + 1) = 3

在排好序的观测值队列中到对应位置的数值：

• $Q_1$ = 4
• $Q_3$ = 31
• IQR = 31 - 4 = 27

# 异常值检测

一个数据集中有时会包含一些不规则的测量值, 我们可能并不希望数据集中包含这样的测量值。

这样的测量值称为『 异常值 outlier 』, 用符号 $γ$ 表示。

异常值出现的原因有:

• 在观测或记录测量值时出现了错误;
• 测量值来自于不同的总体;
• 测量值是正确的, 其代表一个偶然事件;

---

可以通过计算一个值的 $z$ 得分 来判断它是否是异常值。

• 根据经验法则可以知道，几乎所有的观测值的 $z$ 得分的绝对值都小于 3。
• 所以，如果一个观测值的 $z$ 得分绝对值大于 3，那么可以认为其是一个异常值。

---

通过构造数据集合的『 盒子图 Box Plot 』也可以找出异常值。

1. 先找出 "下四分位数" 和 "上四分位数"，并且以这两个位置 ( 关键点 ) 为边界画一个长方形 "盒子"，并在其中用直线标出 "中位数" 的位置。
2. 将距离每一关键点 1.5 IQR 处的点标记为数据集的『 内篱笆 』把关键点与内篱笆之内的 "末端测量值" 用线连接到盒子上。
   • 下侧内篱笆 Lower Fence = $Q_1 - 1.5(IQR)$
   • 上侧内篱笆 Uower Fence = $Q_3 + 1.5(IQR)$
3. 将距离每一关键点 3 IQR 处的点标记为数据集的『 外篱笆 』用 * 表示落在内篱笆和外篱笆之间的测量值。
4. 落在外篱笆之外的值，可以认为是异常值。

🌰 例子：

# 用 "图表" 描述 Bivariate 数据

很多时候，我们会在试验中对一个试验单位身上两个变量进行测量，这样获得的数据成为『 二元数据 bivariate data 』

• 🌰 经济学家调查每个家庭的每月食品消费情况，他可能会同时记录 "每月食品消费的金额" 和 "家庭人口数量" 这两个变量的值。
• 🌰 地产销售调查所在地区二手房屋价格，他可能会同时记录 "房屋成交价格" 和 "房屋平米数" 这两个变量的值。

我们需要一些方法去描述 Bivariate 数据。

# 列联表 & 并行条形图

当数据是按两个变量交叉分类时，我们用『 列联表 Contingency Table 』去进行表示。

• $x$ 轴表示一个变量，$y$ 轴表示另一个变量。数据值位于横纵轴交叉处。
• 数据按 2 个变量交叉分类的列联表，称为『 两维列联表 』。
• 数据按 1 个变量分类的列联表，称为『 一维列联表 』，也就是前面 👆 看到的那些表。依次类推，数据按照 3 个或更多变量分类的列联表称为『 多维列联表 』

🌰 例子：

通过『 并行条形图 Side-by-Side Bar Chart 』可以可视化地表示出列联表：

下面是用『 并行饼状图 Side-by-Side Pie Chart 』进行表示：

# 散点图 Scatter Plot

当两个变量的值都为 quantitative 时，当用『 散点图 Scatter Plot 』可以比较两个变量之间可能存在的关系。

• $x$ 轴表示一个变量，$y$ 轴表示另一个变量。
• 在图上用一个 "点" 来同时表示两个变量的值。
• 当两个变量之间存在 "线性关系" 时，所有的点应当都大致落在一条线的周围。

🌰 例子：

下表 👇 列出了 100 名学生 "阅读" 和 "写作" 的成绩：

用 "散点图" 来表示，可以看出所有的 "点" 是大致围绕着一条直线分布的。可以猜想 "阅读" 和 "写作" 的成绩是具有线性关系的。

# 用 "数值" 描述 Bivariate 数据

下面介绍几个对于散点图的的数值型描述度量。

👆 这个表中记录了 12 个房屋 "售价" 和 "居住面积" 的数据。

根据前面所学，我们可以单独算出来 $x$ 和 $y$ 的平均数，标准差，等数值描述性度量。但是这些度量没有体现出 "变量 $x$ 和 $y$ 之间的关系"。

『 协方差 covariance 』可以度量出两个变量间的 "线性关系"。计算公式为：

$s_{xy} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1}$

也等于：

$s_{xy} = \frac{\sum x_iy_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}}{n - 1}$

---

『 相关系数 correlation coefficient 』可以表示出两个变量间的 "线性关系强度"。

$r = \frac{s_{xy}}{s_xs_y}$

• $s_x$ 和 $s_y$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的『 标准差 』。
• $s_{xy}$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的『 协方差 』
• $r > 0$ 表示两个变量间有 "正" 的线性关系。
• $r < 0$ 表示两个变量间有 "负" 的线性关系。
• $r = 0$ 表示两个变量间 "没有" 线性关系。

🌰 例子：

拿最上面 👆 的那个房屋数据举例。它的散点图如下：

计算得出：$s_x$ = 26.15822，$s_y$ = 29.7592

相关系数 $r$ 的值接近于 $1$，可以认为 "房屋售价" 和 "居住面积" 有很强的正的线性关系。随着居住面积的增加，房屋售价也同步增加。

在认为两个变量间具有某种关系时，假如变量 $y$ 的值依赖于 ( depends on ) $x$ 的值，则称：

• $x$ 为『 自变量 independent variable 』
• $y$ 为『 因变量 dependent variable 』

如果 $x$ 和 $y$ 呈现线性关系的话，那么应该存在一条表示两个变量之间关系的直线 $y = a + bx$

• $a$ is called the『 y-intercept 』
• $b$ is called the『 slope 』of the line, for every one-unit increase in $x$, $y$ increases by an amount $b$.

---

数据集合中的观测值，在散点图中应当围绕着这条直线散布。从每个点到这条直线做一条 "垂线"，它代表点到直线的误差，这条直线使得 "误差的平方和" 最小，称为 the best-fitting line relating $y$ to $x$，也被叫做『 最小二乘直线 least-squares line 』或『 回归直线 regression 』

具体 $b$ 和 $a$ d 值可以用如下公式求出：

$b = r(\frac{s_y}{s_x})$

$a = \bar{y} - b\bar{x}$

🌰 例子：

计算得出：

进一步计算出 $a$ 和 $b$ 的值：

可以得出 $y = 0.767 + 1.200x$

在散点图中表示：

# 📝 综合练习

下表 👇 列出了房产公司的销售数据。左边是 Product 相关信息，右边是 Customer 相关信息。

从表中，我们先去计算一下顾客『 Gender 』的 "频数" 和 "相对频率"。并且 Pie Chart 来表示：

• 图中使用了『 帕累托图表 pareto diagram 』用条形图去表示每个分类的频数，用折线图去表示累积相对频率。

---

再关注一下『 Location 』这个变量：

---

接下来关注一下『 Age at time of purchase 』"顾客购买房屋时的年龄" 这个变量的情况：

用 "直方图" 来绘制出数据分布，间距 interval 为 1：

去掉 "公司" 购买那部分数据，然后选取一个更合适的 "年龄区间"，计算出来 "频数" 和 "相对频率" 以及相关的统计量，并且绘制新的直方图：

---

接下来，关注『 Age 』和『 Price 』两个变量。我们来看看它们之间是否存在关系：

根据上面 👆 的各种描述性统计，我们可以得出以下分析结论：

# 其他

下图 👇 展示了根据你想要展示的目的和数据类型不同，所需要使用的最适合的图表：