# 关系模型 & 关系运算

# 关系模型概述

• ✏️ 关系模型是从 Table 表及表的处理方式中抽象出来的, 在对传统表及其操作进行数学化定义的基础上, 引入 "集合理论" 和 "逻辑学理论" 提出的;
• SQL 语言建立在关系模型的基础上;
• 关系模型由三个部分组成:
  • 描述表的基本结构形式;
  • 描述表与表之间可以发生的各种操作 (关系运算);
  • 描述这些操作应遵守哪些约束条件 (完整性约束);

# 什么是关系

# 关系的定义

在关系模型中, 关系也被称为表 Table;

在表中,『 列 』的取值范围被称为『 域 Domain 』:

• 域是一组值的集合, 这组值有相同的数据类型;
• 集合中元素的个数称为域的『 基数 Cardinality 』

从每列各自的域中取出一个值, 可以组成表中的一行, 也就是一个『 元组 』;

• 元组 $(d_1, d_2, ..., d_n)$ 中任意一个值 $d_i$ 叫做一个『 分量 Component 』

每个域中任取一个值所可能构成的组合的集合, 是一个『 笛卡尔积 』

• 笛卡尔积是由 $n$ 个域形成的所有可能的 $n$-元组的集合;
• 若 $D_i$ 的基数是 $m_i$, 则笛卡尔积的基数 (包含元素的个数) 是 $m_1 * m_2 * ... * m_n$

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✏️ 笛卡尔积中的所有元组, 并不都是有意义的. 其中有意义的元组的组合构成一个『 关系 』

• 也就是, 关系是一组域的笛卡尔积的子集;

🌰 例如, 下面右边的表, 从左边的笛卡尔积中抽取出了符合 "家庭" 关系的元组;

• 笛卡尔积中的 "男人", "女人", "儿童" 是 "域名", 下面对应的所有值是 "域值", 所有的域值构成了表中对应列的取值范围;
• 表中 "丈夫", "妻子", "子女" 是 "列/属性名", 下面对应的值是 "列/属性值";

关系可用 $R(A_1:D_1, A_2:D_2, ... A_n:D_n)$ 表示, 也可简化为 $R(A_1, A_2, ... A_n)$, 这种描述被称为『 关系模式 Schema 』或『 表标题 Head 』

• R 是关系的名字;
• $A_i$ 是属性;
• $D_i$ 是属性对应的域;
• $n$ 是关系的『 度 Degree 』或『 目 』
• 关系中元组的数目称为关系的『 基数 』

🌰 上面的例子中的关系可以描述为: "家庭(丈夫:男人, 妻子:女人, ... 子女:儿童)" 或者 "家庭(丈夫, 妻子, ... 子女)"

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关系模式 & 关系:

• 同一关系模式下, 可能有很多的关系;
• 关系模式时关系的结构, 关系是关系模式在某一时刻的数据;
• 关系会随着我们对于表中数据的增删改而变化;

🌰 下图表现了同一个关系模式, 但是不同关系的情况:

# 关系的特性

• 列是同质的, 表中每一列中数据值属于同一域, 是同一类型的数据;
• 不同的列可以来自同一个域, 但表中每个列都具备不同的列名;

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关系之间是以内容来区别的, 而不是列或行的位置:

• 列位置互换性: 区分哪一列靠列名;
• 行位置互换性: 区分哪一行靠某个或某几个列的值;

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属性不可再分:

• 每一列的属性是单一的, 不可再分的;
• 也称为『 关系第一范式 』;

🌰 例如, 由下角的 name 属性还可以分成 iname 和 fname 这就是不符合第一范式了;

# 候选码/候选键

• 关系中的一个属性或一组属性, 其值能唯一标识一个元组, 若从该组属性中去掉任意一个属性, 它就不具备这一性质了, 这样是属性组称作『 候选码 』
• 候选码, 也称为『 候选键 』
• 🌰 例如, 公民身份信息表中, 身份证号可以作为候选码;
• 候选码可以作为表的『 主键 Primary Key 』
• DBMS 以主键作为主要线索管理表中的各个记录;

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主属性 & 非主属性:

• 包含在任何一个候选码中的属性被称作『 主属性 』
• 其他的属性叫做『 非主属性 』
• 假如关系中的所有属性都可以作为关系的候选码, 那这称为『 全码 All-Key 』关系;

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• 假如关系 $R$ 的单一非主属性或非主属性组, 与另外一个关系 $S$ 的候选码相对应, 则称这个属性/属性组为 $R$ 的『 外键 Foreign Key 』
• 外键也称为『 外码 』
• 两个关系通常靠外键连接起来;

# 关系模型中的完整性约束

# 实体完整性

• 关系的主码中的属性值不能是空值;
• 空值: 不存在, 无意义的值;
• 关系中的元组是对应到现实世界上相互之间可以区分的一个个个体, 这些个体通过主码来唯一标识. 若主码为空, 则会出现不可表示你的个体, 这是不允许的;

# 参照完整性

• 如果关系 $R$ 的外键与关系 $S$ 的主键相对应, 则 $R$ 中的每一个元组的外键值要么等于 $S$ 中的某个元组的主键值, 要么是空值;
• 因为如果关系 $R$ 中的某个元组参照了关系 $S$ 的某个元组, 那么这个元组在关系 $S$ 中必须存在;

# 用户自定义完整性

• 用户针对具体的应用环境定义的完整性约束条件;

# 关系代数

• 基于集合, 提供了一系列关系代数操作;
• 关系代数操作以一个或多个关系为输入, 结果是一个新的关系;
• 使用关系的运算来表达查询, 运算具有过程性 (一步一步地算出来);
• 关系代数是一种抽象的语言, 是学习数据库语言的基础;

# 基本操作

• 在计算机中, 我们把基础的逻辑动作 "与", "或", "非" 抽象成计算机能够执行的 "AND", "OR", "NOT" 指令;
• 之后用抽象出来的基本指令组合编写复杂的动作, 也就是程序;
• 计算机能够解释复杂组合的动作, 并且按照次序去执行它里面包含的基本动作;

对于关系代数操作来讲, 也有基本动作:

• 并 Union $∪$;
• 差 Difference $-$;
• 笛卡尔积 Cartesian Product $×$;
• 选择 Select $σ$;
• 投影 Project $Π$;

• 将基本动作抽象成指令, 然后用算法去实现;
• 通过组合基本动作可以实现更复杂的关系代数操作;
• DBMS 可以解释并执行组合起来的复杂关系代数操作;

# 并相容性

• 某些关系代数操作, 例如, "并", "差", "交" 等, 需要满足『 并相容性 』
• 并相容性: 参与运算的两个关系及其属性之间有一定的对应性, 可比性, 或意义关联性;
• 定义: 关系 $R$ 与关系 $S$ 存在相容性, 当且仅当:
  • 关系 $R$ 和 关系 $S$ 的属性数目必须相同;
  • 对于任意 $i$, 关系 $R$ 的第 $i$ 个属性的域必须和关系 $S$ 的第 $i$ 个属性的域相同;

🌰 例如, 假设有关系 $R(A_1, A_2, ... , A_n)$ 和 $S(B_1, B_2, ... , B_n)$, 如果 $R$ 和 $S$ 满足并相容性:

• $n = m$;
• $Domain(A_i) = Domain(B_i)$;

🌰 下面的 STUDENT 关系和 PROFESSOR 关系也是相容的:

# 并操作 Union

• 假设关系 $R$ 和 $S$ 是并相容的, 则关系 $R$ 和 $S$ 的并运算结果也是一个关系;
• 记作: $R ∪ S$;
• 它由或者出现在关系 $R$ 中, 或者出现的 $S$ 中的元素组成;
• 数学描述: $R ∪ S = \{t | t ∈ R ∨ t ∈ S\}$, $t$ 是并运算结果中的元组;
• 日常语言中, "或者 ... 或者 ..." 通常表达的是并运算;

# 差操作 Difference

• 假设关系 $R$ 和 $S$ 是并相容的, 则关系 $R$ 和 $S$的差运算结果也是一个关系;
• 记作 $R - S$;
• 它由出现在关系 $R$ 中, 但是不出现在关系 $S$ 中的元组构成;
• 数学描述 $R － S = \{t | t ∈ R ∧ t ∉ S \}$
• $R - S$ 和 $S - R$ 是不同的;

# 笛卡尔积操作 Cartesian Product

• 关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积运算结果也是一个关系;
• 记作: $R × S$;
• 它由关系 $R$ 中的元组和关系 $S$ 中的元组进行所有的可能的拼接构成;
• 数学描述: $R × S = \{<a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n> | <a_1, a_2, ..., a_n> ∈ R$ $∧ <b_1, b_2, ..., b_n> ∈ S \}$
  • $<a_1, a_2, ..., a_n>$ 和 $<b_1, b_2, ..., b_n>$ 指的是关系 $R$ 和 $S$ 中的元组;
• 两个关系 $R$ 和 $S$ 它们的元组个数分别是 $x$ 和 $y$, 度 (属性的数量) 分别为 $a$ 和 $b$:
• 笛卡尔积结果的 "基数" (元组个数) 为 $x * y$
• 笛卡尔积结果的 "度" (属性个数) 为 $a + b$

# 选择操作 Select

• 给定一个关系 $R$, 同时给定一个选择的条件 Condition (简写为 $con$), 选择运算的结果也是一个关系;
• 记作 $σ_{con}(R)$
• 它从关系 $R$ 中选择出满足给定条件的元组;
• 数学描述: $σ_{con}(R) = \{t | t ∈ R ∧ con(t) = true\}$
• 条件由 "逻辑运算符" 连接 "比较表达式" 组成:
  • 逻辑运算符: $∨ ∧ ¬$
  • 比较表达式: $X θ Y$:
    • X 和 Y 可以是元组中的分量, 常量, 或者简单函数;
    • $θ$ 是比较运算符, $>, \geq, <, \leq, =$

# 投影操作 Project

• 给定一个关系 $R$, 投影运算结果也是一个关系;
• 记作 $Π_A(R)$;
• 它从关系 $R$ 中选出属性包含在 $A$ 中的列构成的关系;
• 数学描述: $Π_{Ai1, Ai2, ..., Aik}(R) = \{ <t[A_{i1}], t[A_{i2}], ..., t[A_{ik}]> | t∈R\}$
• 设 $R(A_1, A_2, ..., A_n)$
  • $\{A_{i1}, A_{i2}, ..., A_{ik}\} ⊆ \{A_1, A_2, ..., A_n\}$
  • $t[A_i]$ 是元组 $t$ 中对应属性 $A_i$ 的分量 (属性值)
• "投影操作" 从给定关系中选出某些 "列" 组成新的关系, 而"选择操作" 是从给定关系汇总选出某些 "行" 组成新的关系;

# 扩展操作

# 交操作 Intersection

• 假设关系 $R$ 和 $S$ 是并相容的, 则关系 $R$ 和 $S$ 的交运算结果也是一个关系;
• 记作: $R ∩ S$
• 它由同时出现在关系 $R$ 和 $S$ 中的元组构成;
• 数学描述: $R ∩ S = \{t | t ∈ R ∧ t ∈ S\}$
• 交运算可以由 "差运算" 来实现: $R ∩ S = R - (R - S) = S - (S - R)$
• 日常语言中, "即 ... 又 ...", "... 并且 ..." 通常表示是交运算;

# theta θ 连接操作 & 更名操作 Rename

• 投影和选择操作是在单个表上进行的, 实际应用中经常需要在多个表之间进行操作, theta 连接操作可以在多表之间进行;
• 给定关系 $R$ 和 $S$ 的 $θ$ 连接运算结果也是一个关系;
• 记作:
  • 
• 它由关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积中, $R$ 中属性 $A$ 和 $S$ 中属性 $B$ 满足 $θ$ 条件的元组构成;
• 数学描述:
  • 
  • $A$ 是关系 $R$ 中的属性;
  • $B$ 是关系 $S$ 中的属性;
  • $t$ 是关系 $R$ 中的元组;
  • $s$ 是关系 $S$ 中的元组;
  • $R \times S$ 是关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积;
  • 属性 $A$ 和 $B$ 具有可比性;
  • $θ$ 是比较运算符;

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更名操作 Rename:

• 在关注做 $θ$ 连接操作时, 可能会进行自己与自己的连接;
• 这个时候为了避免重名, 需要进行『 更名操作 Rename 』;
• ⚠️ 更名操作算是一个『 基本操作 』

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等值连接操作 Equi-Join:

• 是一种特殊的 $θ$ 连接操作, 当 $θ$ 运算符为 $=$ 时就是『 等值连接 』

# 自然连接操作 Natural - Join

• 记作: $R ⋈ S$
• 它由关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积中选取相同的属性组 $B$ 上值相等的元组构成;
• 数学描述:
  • 
• 自然连接是一种特殊的等值连接;
• 要求关系 $R$ 和 $S$ 必须有相同的属性组 $B;
• 要在结果中取出掉重复属性列, 因为 $R.B_i$ 的值一定是等于 $S.B_i$ 的值, 所以每个重复的列只需保留一个;

# 除操作 Division

• 前提条件: 给定关系 $R(A_1, A_2, ..., A_n)$ 为 $n$ 度关系, $S(B_1, B_2, ..., B_m)$ 为 $m$ 度的关系. 如果想要进行关系 $R$ 和 $S$ 的除运算, 当且仅当, 属性集 $\{B_1, B_2, ..., B_m\}$ 是 $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$ 的真子集, 即 $m < n$
• 记作: $R \div S$
• $R \div S$ 结 果的属性集是 $\{C_1, C_2, ..., C_k\}$ 等于 $\{A_1, A_2, ..., A_n\} - \{B_1, B_2, ..., B_m\}$
  • $k = n - m$
  • $R \div S$ 结果是一个 $n - m$ 度的关系;
• $R \div S$ 结果关系中的元组满足下列条件:
  • 与 $S$ 中的每一个元组组合形成的新元组必须是 $R$ 关系中的一个元组;

• $Π_{R-S}(R)$: 关系 $R$ 中属性集与关系 $S$ 中的属性集进行差操作, 其结果在关系 $R$ 上的投影;
• $∀u \isin S(tu \isin R)$: 所有的属于关系 $S$ 的元组 $u$ 与 $R \div S$ 结果关系中的元组 $t$ 组合起来, 都是属于关系 $R$ 的元组;

# 外连接操作 Outer Join

• 两个关系 $R$ 与 $S$ 进行连接时, 如果关系 $R$ ( 或 $S$ ) 中的元组在 $S$ ( 或 $R$ ) 中找不到匹配的元组, 为了避免信息丢失, 从而将该元组与 $S$ ( 或 $R$ ) 中假定存在的全为空值的元组形成连接, 这种连接成为『 外连接 Outer Join 』

• 外连接可以细分为:
  • 左外连接: 自然连接/ $θ$ 连接 + 左侧表中失配的元组;
  • 右外连接: 自然连接/ $θ$ 连接 + 右侧表中失配的元组;
  • 全外连接: 自然连接/ $θ$ 连接 + 两侧表中失配的元组;

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# 关系演算

• 关系演算以数理逻辑中的谓词演算为基础, 是一种用逻辑表达查询的思维;

• 『 谓词 』用来表明语句主语的一个性质;

  • 例如, 语句 “x 大于 3” 可以分成两个部分：
    • 变量 x 是语句的主语；
    • 谓词 “大于 3”，表明语句主语的一个性质;

• 根据谓词变量的不同, 可以分为:

  • 关系元组演算;
  • 关系域演算;

# 关系元组演算

• 关系元组演算公式基本形式: $\{t | P(t)\}$
• 公式表示, 所有使谓词 $P$ 为真的元组 $t$ 的集合;
• $t$ 是元组变量;
• $P$ 是谓词逻辑的公式;
• 以元组为基本单位进行循环, 通过对具体元组分量进行谓词判断, 来得出符合条件的元组集合;

# 原子公式

# 全称量词 & 存在量词

# 等价变换

# 元组演算 vs 关系代数

# 元组演算公式与关系代数的等价性

# 关系域演算

• 关系域演算是以『 域 』为谓词变量的逻辑演算;
• 公式的基本形式: $\{ <x_1, x_2, ..., x_n> | P(x_1, x_2, ..., x_n) \}$
• $x_i$ 代表域变量;
• $P$ 是以 $x_i$ 为变量的公式;

• 域演算时, 是对每个域中所有可能的值进行判断, 看看是否在关系中有对应的元组, 再看看是否符合判断条件;

# 安全性

• 不产生无限关系和无穷验证的运算被称为是安全的.
• 关系代数是一种集合运算, 是安全的;
  • 集合本身是有限的, 有限元素集合的有限次运算依然是有限的;
• 关系演算不一定是安全的;
  • 🌰 例如: $\{ t | ¬R(t) \}$ 可能表示无限关系;
  • 因为虽然 $R(t)$ 是有限的, 但是不在 $R(t)$ 中的元素可能是无限的;
• 需要对关系演算施加约束条件, 以保证安全性;

# 关于三种关系运算的一些观点

• 三种关系运算都是抽象的数学运算, 体现了三种不同的思维:
  • 关系代数: 以集合为对象的操作思维, 由集合到集合的变换;
  • 元组演算: 以元组为对象的操作思维, 取出关系的每一个元组进行验证看是否满足条件;
  • 域演算: 以域为对象的操作思维, 取出域中的每一个变量进行验证看是否满足条件;
• 三种运算之间是等价的, 每一种形式的表达式都可以等价地转换成另一种形式;
• 三种关系是衡量数据库语言完备性的基础:
  • 一种数据库语言如果能够等价地实现这三种关系运算的操作, 则说该语言是完备的;
  • 目前常用的数据库语言都在实现这三种运算的基础上, 还添加很多其他的操作,;